– Рада приветствовать вас на практическом занятии по логике! – улыбнулась профессор, приглашая студентов рассаживаться. – Отрадно, что большинство из тех, что я видела на прошлой лекции я вижу и сейчас. Не скажу, что выполнение первого домашнего задания у всех было идеальным. Но без труда, как известно, не вытащишь русалку из пруда!

А чтобы не навевать на вас сегодня тоску, говорить будем мало и в основном символами. Но несколько определений записать всё же придётся.

Есть такая наука – семиотика – о знаках и знаковых системах. Она включает в себя три раздела: синтаксис, семантику и прагматику, каждый из которых рассматривает определенный тип отношений между знаками, тем, что оно обозначают, либо теми, кто ими пользуется.

Так, например, синтаксис задает правила оперирования знаками, их сочетания и преобразования созданных с их помощью выражений.

Семантика – теория о смысловых значениях знаков, она исследует отношения, которые возникают между знаками и тем, что эти знаки обозначают.

Прагматика изучает то, как мы используем знаки с целью достижения какого-либо конкретного результата, т.е. отношения между знаками (знаковыми системами) и теми, кто их использует.

Формальная логика ориентируется по большей части на синтаксис: задает алфавит, т.е. начальные символы логической системы, правила конструирования из них выражений/формул и правила преобразования одних выражений/формул в другие.

Однако при этом формальная логика не может игнорировать и семантику, т.к. прежде чем мы начнем что-либо выражать через символы, необходимо понять, с классами каких-сущностей мы работаем. Эти классы получили названием семантических категорий. Дело в том, что все выражения языка можно разбить на классы таким образом, что замена одного выражения другим в рамках одного класса оставляет текст, в состав которого выходит данное выражение, осмысленным; а вот если выражение одного класса заменяем выражением из другого класса, то смысл теряется, текст превращается в бессмысленный.

Например, арифметические выражения предполагают, что мы объединяем числа посредством символов арифметических действий и символа равенства: «3+12=15», при этом мы можем одни числа заменять на другие, в результате выражение может стать из истинного ложным, но тем не менее останется осмысленным. Это говорит о том, что числа принадлежат к одной семантической категории. Аналогичным образом мы можем производить замену символов арифметических действий (+, – , :, х), что тоже не приведет к потере осмысленности выражения, значит и они принадлежат к одной семантической категории. Но вот замена числа знаком умножения («3+х=15») сделает выражение бессмысленным, следовательно, числа и знаки арифметических действий принадлежат разным семантическим категориям.
Основные семантические категории логики – это высказывания, имена и функторы.

• Высказывания – это выражения, фиксирующие какое-то состояние дел или событие. Они оцениваются как истинные либо как ложные (если речь идет о классической двузначной логике). Вопросительные и побудительные предложения не являются высказываниями.
• Имена – это слова или словосочетания, обозначающие какой-либо предмет мысли (вещи, их свойства или отношения к другим вещам, процессы, действия, абстракции и др.).
• Функторы – выражения, которые на основе других выражений образуют новые, более сложные, выражения. К ним относятся логические связки/союзы, именные и пропозициональные функции (т.е. выражения, содержащие переменные, при подстановке вместо которых конкретных значений, первые – именные – превращаются в имена, а вторые – пропозициональные – превращаются в высказывания), кванторы, разного рода операторы.

1-й ряд символов – это язык традиционной аристотелевской логики. Здесь мы будем заменять символами лишь субъект и предикат, все остальные значимые части мысли будут выражаться определенными словами:

• S – субъект – предмет мысли,
• Р – предикат – свойства и/или отношения, приписываемые субъекту,
• суть/не суть – слова, символизирующие логическую связку, объединяющую субъект и предикат,
• все/некоторые – кванторные слова, указывающие на объем субъекта,
• и/или/либо-либо/если-то/тогда и только тогда, когда/неверно, что – логические союзы, при помощи которых мы объединяем простые суждения в сложные.

Таким образом, на языке традиционной логики мы получаем логическую структуру в следующем виде: «Все S суть Р» или «Если некоторые S1 суть Р1, то все S2 суть Р2».

2-й ряд символов – это язык логики высказываний. Последняя абстрагируется от внутренней структуры суждений (т.е. того, какая связка – утвердительная (суть) или отрицательная (не суть) – объединяет субъект и предикат, а также от того, какой квантор – общности (все) или существования (некоторые) – стоит при субъекте) и сосредоточивается на связях между ними, выраженных при помощи логических союзов. В логике высказываний используются следующие символы:

p, q, r... - пропозициональные переменные, каждая из которых символизирует простое суждение, а также символы логических союзов:

• ˄ – конъюнкция, используется для объединения двух переменных или выражений: p ˄ q, читается «р и q»;
• ˅ – слабая (нестрогая) дизъюнкция, используется для объединения двух переменных или выражений: p ˅ q, читается «р или q»;
• U – сильная (строгая) дизъюнкция, используется для объединения двух переменных или выражений: p ˅ q, читается «либо р, либо q»;
• → – импликация, используется для объединения двух переменных или выражений: p → q, читается «если р, то q»;
• ↔ – эквиваленция (она же – тождество), используется для объединения двух переменных или выражений: p ↔ q, читается «р тогда и только тогда, когда q»;
• ¬ или ~ – отрицание, в отличие от всех вышеприведенных логических союзов ничего не объединяет и используется при переменной, либо при выражении: ¬p, читается «не-р» или «неверно, что р».

3-й ряд символов – язык логики предикатов. Она расширяет логику высказываний, рассматривая не только связи между суждениями, но и внутреннюю – субъектно-предикатную – структуру этих суждений. Здесь используются такие же символы логических союзов, как и в логике высказываний, символы кванторов и два вида переменных:

• x, y, z – индивидные переменные, указывают на множество, являющееся предметом нашей мысли;
• P, Q, R... – предикатные переменные, указывают на свойства, присущие субъекту (предмету мысли), т.е. на предикаты;
• ∀ – символ, обозначающий универсальный квантор (квантор общности);
• ∃ – символ, обозначающий экзистенциальный квантор (квантор существования).

Минимальная формула на языке логики предикатов будет выглядеть как ∀хР(х) – «для любого х верно, что Р(х)» или ∃y¬Q(y) – «существует такой y, для которого неверно, что Q(y)».

Язык логики высказываний хоть и не является естественным языком, всё же требует изрядной усидчивости для того, чтобы им свободно овладеть. Поэтому не пугайтесь обилия новых для вас символов и начинайте с простых выражений. Давайте одно преобразуем на различные логические языки вместе, а остальные преобразования постараетесь сделать дома.

Готовы попробовать сами? Славно, тогда записывайте домашнее задание и помните, что не ошибается только тот, кто ничего не делает, – профессор улыбнулась, раздала пергаменты с задачами и отпустила студентов заниматься самостоятельно.